Главная › Олимпиады школьников › Математические олимпиады школьников

Олимпиадные задачи 2 тура с решениями и ответами - 2006 год

Втр, 30/03/2010 - 16:22 — Татьяна Алексан...

Олимпиадные задачи 2 тура с решениями и ответами - 2006 год

6 класс

  1. Разность двух чисел на 17 меньше уменьшаемого и на 9 больше вычитаемого. Найдите уменьшаемое и вычитаемое.
  2. Будет ли сумма чисел  1 + 2 + 3 + …..+ 2005 + 2006 + 2007 делиться на 2007? Ответ обоснуйте.
  3. Нужно разместить 17 кроликов так, чтобы в каждой клетке было разное количество кроликов. Какое наибольшее число клеток понадобится?
  4. На выставку привезли 25 собак. 12 из них большие, 8 – маленькие, остальные средние. Только 10 из участников выставки породистые, остальные – дворняжки. Среди дворняжек поровну больших, маленьких и средних. Сколько больших породистых собак привезли на выставку?Чему равен периметр
  5. Все треугольники, изображенные на рисунке, имеют равные стороны. Радиус каждой из окружностей равен 2 см. Окружности касаются друг друга и сторон квадрата. Чему равен периметр «звездочки», нарисованной жирной линией?

7 класс

  1. Восстановите пример: АВС × СВА = 692443.
  2. За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето поправился на 20%, затем за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел он в итоге или поправился? Ответ обоснуйте.
  3. Какой цифрой оканчивается число 20072006?
  4. На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см нарисован треугольник. Чему равна площадьЧему равна его площадь?
  5. У мамы четыре дочери Поля, Валя, Катя и Маша. Девочки играли и разбили вазу. На вопрос: «Кто это сделал?» Поля, Валя и Катя ответили: «Не я», а Маша – «не знаю». Потом оказалось, что две из них сказали правду, а две неправду. Знает ли Маша, кто разбил вазу? Ответ объясните.

8 класс

  1. Решите уравнение x - 6 = |x - 3|/(x - 3).
  2. Верно ли равенство 3100 + 7100 = 8100? Ответ обоснуйте.
  3. Дворники получают грабли и метлы. Если каждый возьмет одну метлу или одни грабли, то останется 14 метел. А чтобы дать каждому дворнику и одну метлу, и одни грабли, не хватает 10 грабель. Сколько было дворников, сколько метел и сколько грабель?
  4. На острове живут два племени: аборигены и пришельцы. Аборигены всегда говорят правду, а пришельцы всегда лгут. Путешественник, приехавший на остров, нанял островитянина в проводники. Они пошли и увидели другого островитянина. Путешественник послал туземца узнать, к какому племени принадлежит этот туземец. Проводник вернулся и сказал: «Туземец говорит, что он абориген». Кем был проводник: пришельцем или аборигеном? Ответ обоснуйте.Найдите величину
  5. В окружности с центром в точке О проведены радиусы ОВ и ОА так, что ﮮАОВ=60°, ОВ = DС. Найдите величину ﮮАDО.

9 класс

  1. В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная.
  2. Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?Решите неравенство
  3. Решите неравенство .
  4. Решите уравнение x2 + 2005x – 2006 = 0.
  5. Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?


10 класс 

  1. Решите уравнение (x-2)(x-3)(x+4)(x+5) = 1320.
  2. На плоскости дан отрезок АВ. Где может быть расположена точка С, чтобы ∆АВС был остроугольным?
  3. Найти все натуральные числа, оканчивающиеся на 2006, которые после зачеркивания последних   четырех цифр уменьшаются в целое число раз.
  4. Вычислить сумму a2006 + 1/a2006, если a2– a + 1 = 0.
  5. Лист бумаги разрезали на 5 частей, некоторые из этих частей разрезали на 5 частей, и т. д. Может ли за некоторое число разрезаний получиться 2006 листка бумаги?

11 класс

  1. Докажите, что уравнение  xy = 2006 (x+y) имеет решения в целых числах.
  2. Докажите, что если α, β, γ - углы произвольного треугольника, то справедливо тождество cos2α + cos2β + cos2γ + 2 cosα cosβ cosγ = 1.
  3. Три шара радиуса R касаются друг друга и плоскости  α, четвертый шар радиуса R положен сверху так, что касается каждого из трех данных  шаров. Определите высоту «горки» из четырех шаров.
  4. Докажите неравенство x2 - 3x3 < 1/6 на луче [1/4; +∞).
  5. В прямоугольник 20 x 25 бросают 120 квадратов 1 x 1. Докажите, что в прямоугольник можно поместить круг с диаметром, равным 1, не имеющий общих точек ни с одним из квадратов.

Ответы и решения задач

2006 год

6 класс

  1. Ответ: 43 – 17.
  2. Ответ: будет.    Представим данную сумму в виде следующих слагаемых: (1 + 2006) + (2 + 2005) + …..+ (1003 + 1004) + 2007. Так как каждое слагаемое делится на 2007, то и вся сумма будет делиться на 2007.
  3. Ответ: 5 клеток.
  4. Ответ: 7 больших породистых собак.
  5. Ответ: 64 см

 
7 класс

  1. Ответ: 739 ×937 = 692443.
  2. Ответ: Обломов похудел.
  3. Ответ: число оканчивается цифрой  9.
  4. Ответ: 25,5 см2
  5. Среди ответов Поли, Вали и Кати может быть только один ложный ответ, иначе при двух ложных ответах получается, что стекло разбили двое. Тогда вторым ложным ответом будет ответ Маши. Значит, Маша знала, кто разбил стекло.

8 класс

  1. Ответ: 7. 
  2. Решение: Нет. 3100 оканчивается 1, 7100 оканчивается 1, а 8100 оканчи­вается 6.
  3. Ответ: 24 дворника, 24 метлы и 14 грабель.
  4. Ответ: Проводник был аборигеном.
  5. Ответ:  ﮮCDO = 20°.

9 класс

  1. Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC. Тогда очевидно, что ∆АСМ - равносторонний. Но это значит, что ∆АОD и ∆ВОС - тоже равносторонние.Докажите, что трапеция – равнобедренная Отсюда непосредственно следует, что ∆АОВ = ∆СОD, откуда имеем, что AB = CD.
  2. «Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается - 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет  по ½   л воды. 
  3. Заметим, что все решения исходного неравенства  существуют, если подкоренные выражения неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x2 – 4x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет единственное решение 3.
  4. Исходное уравнение имеет очевидный корень 1. Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x1x2 = -2006 и x1 = 1, то x2 = 2006.
  5. Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8+9+9=26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

10 класс

  1. Ответ: -8; 6.
  2. Построим на АВ как на диаметр окружность и проведем через А и В две прямые, перпендикулярные отрезку АВ. Точка С может находится между этими прямыми вне круга.
  3. Пусть натуральные числа имеют вид x∙10000 + 2006, где x € N. После вычеркивания последних цифр получим число x. По условию , где n € N. Отсюда имеем, что должно быть натуральным числом, т. е. x - делитель числа 2006. Число 2006 имеет делители: 1; 2; 17; 34; 59; 118; 2006. Следовательно, имеются числа, отвечающие условию задачи: 12006; 22006; 172006; 342006; 592006; 1182006; 20062006.
  4. Так как a<>0, то, разделив обе части исходного уравнения на a, получим a + 1/a = 1. Заметим, что a3 + 1 = 0, т. к. a3 + 1 = (a + 1)(a2 – a + 1). Таким образом, a3 = -1. Тогда a2006 + 1/a2006 = (a3)6682 = a2 +1/a2 = - 1.
  5. Замечаем, что при каждом разрезании из одного листка получаем пять, т. е. число листков увеличивается на 4. Следовательно, из исходного листа может получиться число листков вида 1 + 4n, где n € N, т. е. это число при делении на 4 дает остаток 1. Но 2006 = 4∙501 + 2. Следовательно, 2006 листков получиться не может.

 

11 класс

  1. Преобразуем уравнение к следующему виду: (х – 2006)(у - 2006) = 20062. Уравнение имеет решения, например, х = у = 4012.
  2. Преобразуем выражение в левой части равенства, учитывая, что α + β + γ = π, и применяя формулы: cos2x = (1 + cos2x)/2, cosx = - cos(π - x), cosx + cosy = (2cos((x + y)/2))cos((x - y)/2), получим справедливое тождество.A, B, C, D являются вершинами правильной пирамиды
  3. Пусть четыре шара радиуса R c центрами A, B, C, D касаются друг друга и первые три из них – плоскости a в точках A1, B1, C1 (см. рис). Тогда точки A, B, C, D являются вершинами правильной пирамиды с ребром 2R. Вершина D этой пирамиды проектируется в центр основания О., .



  4. Пусть y = x2 – 3x3. Тогда y' = 2x – 9x2 и с помощью метода интервалов получаем, что y' < 0 при всех x>2/9. Но 1/4>2/9, следовательно, функция y(x) убывает на луче [1/4; +∞]. Это значит, что x2 - 3x3 < 1/16 - 3/64 = 1/64 < 1/64.
  5. Окружим каждый квадрат полоской шириной 1/2. Образующие фигуры тоже квадраты со стороной 1 + 2 x 1/2 = 2, имеют площадь равную 4. Их общая площадь равна 4 x 120 = 480, в то время как искомая площадь равна 500. Следовательно, найдется точка, которая не покрыта построенными квадратами, но это значит, что она удалена от данных квадратов не меньше чем на по всем направлениям. Круг радиуса  с центром в этой точке не имеет общих точек  ни с одним из квадратов.