Учимся вместе

В этой статье мы рассмотрим, как строить график функции вида y = |f(x)|.

Примеров таких функций очень много: y = |x|, y = |x²-5x+6|, y = |5/x²|, y = |(x-5)³| и т.д.

Как же построить график функции такого вида? Ответ: очень просто!

[Сокращения: ф-ция - функция, гр-к - график]

Сначала немного теории. Модуль (по определению) - это какое-либо расстояние, расстояние всегда неотрицательно. Поэтому модуль любого числа всегда неотрицателен, т.е. |x| ⩾ 0. Тогда гр-к ф-ции y = |f(x)| всегда лежит выже оси OX (оси абсцисс) или касается ее. Теперь посмотрим, что будет, когда под модуль встает отрицательное число. Например, |-5| = 5, |-0.2| = 0.2. Получается, что если в какой-то точке значение ф-ции y = f(x) равно -5, то в этой же точке значение ф-ции y = |f(x)| равно 5. А как расположены точки (x; -5) и (x; 5) относительно оси абсцисс? Они симметричны относительно оси абсцисс. И так с любой точкой (с любым значением x): y = f(x) = -0.2, значит y = |f(x)| = 0.2; точки (x; -0.2) и (x; 0.2) симметричны относительно оси абсцисс. 

Из этих рассуждений ясно, что если на каком-то отрезке гр-к ф-ции y = f(x) идет ниже оси абсцисс, то гр-к ф-ции y = |f(x)| на этом же отрезке идет выше оси абсцисс симметрично относительно нее.

Значит, чтобы построить график функции y = |f(x)|, нужно построить график функции y = f(x), а затем все участки получившегося графика, лежащие ниже оси абсцисс, нужно отобразить симметрично вверх. Вот и весь принцип построения гр-ков ф-ций вида y = |f(x)|.

Рассмотрим пример: построить график функции y = |x²-x-12|.

1. Для начала необходимо построить гр-к функции y₁ = x²-x-12. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. старший коэффициент положителен (a = 1). Она пересекает ось абсцисс в точках (-3; 0) и (4; 0), т.к. корни уравнения x²-x-12 это x₁ = -3 и x₂ = 4. Ось ординат пересекает в точке (0; -12), т.к. y₁(0) = 0² - 0 - 12 = -12. Вершина параболы находится в точке ( -b/(2a); y₁(-b/(2a)) ), т.е. в точке (0.5; -12.25). Ну и несколько точек для точного построения: (-4; 8), (-2; -6), (-1; -10), (1; -12), (2; -10), (3; -6), (5; 8). Строим:
   
2. Затем в соответствии с правилом, сформулированным нами выше, ту часть гр-ка ф-ции y₁ = x²-x-12, которая лежит ниже оси абсцисс, нужно отобразить симметрично вверх. Это часть графика, лежащая между x₁ = -3 и x₂ = 4. Получаем:
3. Итак, итоговый гр-к функции y = |x²-x-12| выглядит так:

Мы разобрали, как строятся гр-ки функций вида y = |f(x)|. Кроме функций с модулем такого вида есть еще ф-ции вида y = f(|x|). Мы разберем, как строить графики таких функций, в следующей статье.